Folha de exercícios de algebra básica
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Teoria dos Conjuntos
Conceitos primitivos
Para se trabalhar o raciocínio lógico na teoria dos conjuntos, partimos dos conceitos primitivos de conjunto e de elemento. Um conjunto é uma coleção de elementos distintos que o identificam. Dizemos que:"Um conjunto é caracterizado pelos seus elementos", ou "os elementos caracterizam o conjunto".
Para indicar se um elemento está ou não em um determinado conjunto usamos os símbolos de Peano: ∈ (pertence) e ∉(não pertence).
Exemplos:
a) Seja M={a, e, i, o, u} o conjunto das vogais do alfabeto. A vogal a é um elemento do conjunto M. Indica-se por a ∈ M. Lê-se: a pertence ao conjunto M ou a está em M. Por outro lado, quando um elemento não é um elemento do conjunto, por exemplo b, indicamos por b ∉ M. Lê-se: b não pertence ao conjunto M ou b não está em M.
b) Seja S={{1}, {3}, {5}, {7}, {9}} um cojunto cujos elementos são conjuntos. Note que neste exemplo {1} é elemento de S, entã indicamos {1}∈ S. O número 1 não é elemento de S, então indicamos 1 ∉ S. Assim como {4} ∉ S, por não ser {4} um elemento de S.
c) Seja P={1, {2}, {3, 4}, 3} um conjunto de 4 elementos.
Indicamos neste exemplo 1 ∈ P e {1}∉ P, pois 1 é elemento de P e {1} não é elemento de P. Pela mesma razaão podemos escrever {2}∈ P e 2 ∉ P.
Representações de Conjuntos
Existem diferentes representações para descrever um mesmo conjunto. Considerando o conjunto M das vogais do alfabeto, podemos representá-lo das seguintes maneiras:
I) Enumerando seus elementos.
Exemplo: M={a, e, i, o, u}
II) Usando propriedades características de todos os seus elementos.
Exemplo: M={x / x é vogal}
III) Na linguagem coloquial.
Exemplo: M é o conjunto das vogais do alfabeto.
IV) Usando o diagrama de Venn.
Exemplo:
Para indicar se um elemento está ou não em um determinado conjunto usamos os símbolos de Peano: ∈ (pertence) e ∉(não pertence).
Exemplos:
a) Seja M={a, e, i, o, u} o conjunto das vogais do alfabeto. A vogal a é um elemento do conjunto M. Indica-se por a ∈ M. Lê-se: a pertence ao conjunto M ou a está em M. Por outro lado, quando um elemento não é um elemento do conjunto, por exemplo b, indicamos por b ∉ M. Lê-se: b não pertence ao conjunto M ou b não está em M.
b) Seja S={{1}, {3}, {5}, {7}, {9}} um cojunto cujos elementos são conjuntos. Note que neste exemplo {1} é elemento de S, entã indicamos {1}∈ S. O número 1 não é elemento de S, então indicamos 1 ∉ S. Assim como {4} ∉ S, por não ser {4} um elemento de S.
c) Seja P={1, {2}, {3, 4}, 3} um conjunto de 4 elementos.
Indicamos neste exemplo 1 ∈ P e {1}∉ P, pois 1 é elemento de P e {1} não é elemento de P. Pela mesma razaão podemos escrever {2}∈ P e 2 ∉ P.
Representações de Conjuntos
Existem diferentes representações para descrever um mesmo conjunto. Considerando o conjunto M das vogais do alfabeto, podemos representá-lo das seguintes maneiras:
I) Enumerando seus elementos.
Exemplo: M={a, e, i, o, u}
II) Usando propriedades características de todos os seus elementos.
Exemplo: M={x / x é vogal}
III) Na linguagem coloquial.
Exemplo: M é o conjunto das vogais do alfabeto.
IV) Usando o diagrama de Venn.
Exemplo:
Existe um procedimento fácil para cálculo de mmc e mdc, é como se estivesse simplificando uma fração. Pode-se também escrever todos os múltiplos dos números(para o cálculo de mmc), e todos os divisores dos números(para o cálculo de mdc), e depois encontrar o menor múltiplo comum entre eles(mmc) ou o maior divisor comum(mdc). E ainda existe o processo de decomposição em fatores primos que aprendemos na escola.
MMC(Menor múltiplo comum) e MDC(maior divisor comum)
Vamos calcular o mmc de 15 e 20, expondo seus múltiplos e comparando:
Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ...
Múltiplos de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...
Como podemos ver acima, os múltiplos comuns dos números 15 e 20 são: 60, 120, 180...; então o menor múltiplo comum entre estes números será o 60.
Podemos, quando são somente dois números, escrevê-los na forma de fração e “simplificar-los”, como exemplificamos abaixo para os números 15 e 20.
Mmc(15, 20)=5x4x3=60(o número que está abaixo do sinal de igual, que é um divisor comum entre o numerador e o denominador, multiplicado pelos novos numerador e denominador)
Mdc(15,20)=5 (o número que está abaixo do sinal de igual, que é um divisor comum entre o numerador e o denominador)
Por este processo, você calcula o mmc e o mdc em uma linha e de uma forma rápida.
Outra forma de calcular o mmc e o mdc, que vale para qualquer quantidade de números é decompor em fatores primos, e observar alguns detalhes.
Como exemplo, vamos calcular o mmc entre os números 21, 7 e 42.
MMC(7,21,42) = 2x3x7=42
Como vc pode notar, decompomos os números em fatores primos e em seguida multiplicamos estes fatores primos, encontrando assim o mmc entre estes números.
Para o calculo do mdc, o processo é semelhante, apenas você deve prestar atenção qual foi o numero primo(ou os números primos) que dividiram os três números ao mesmo tempo, que no exemplo acima é o 7.
Então podemos afirmar que:
Mdc(7, 21, 42)=7
Caso haja mais números que dividam ao mesmo tempo, o mdc será o produto desses números. Observe o próximo exemplo, vamos calcular o mmc e o mdc entre os números 21, 42 e 84:
21 42 84 2
21 21 42 2
21 21 21 3 =>dividiu os três ao mesmo tempo.
7 7 7 7 =>dividiu os três ao mesmo tempo.
1 1 1
No caso acima, podemos dizer que:
MMC(21, 42, 84)=2x2x3x7=84
MDC(21, 42, 84)=3x7=21
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